Question

5．設(shè)z=log₂（1+m）+ilo${g}_{\frac{1}{2}}$（3-m）（m∈R）．
（1）若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求m的取值范圍；
（2）若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線x-y-1=0上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，列出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{2}（1+m）＜0}\\{{log}_{\frac{1}{2}}（3-m）＜0}\end{array}\right.$，求出解集即可；
（2）把z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)代人直線方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵z=log₂（1+m）+ilo${g}_{\frac{1}{2}}$（3-m）（m∈R），
當(dāng)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限時(shí)，
$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{2}（1+m）＜0}\\{{log}_{\frac{1}{2}}（3-m）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{0＜1+m＜1}\\{3-m＞1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{-1＜m＜0}\\{m＜2}\end{array}\right.$，
∴m的取值范圍是-1＜m＜0；
（2）當(dāng)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線x-y-1=0上時(shí)，
log₂（1+m）-${log}_{\frac{1}{2}}$（3-m）-1=0，
即log₂（1+m）+log₂（3-m）=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+m＞0}\\{3-m＞0}\\{（1+m）（3-m）=2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜m＜3}\\{{m}^{2}-2m-1=0}\end{array}\right.$，
解得m=1-$\sqrt{2}$或m=1+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義與不等式、方程的解法與應(yīng)用問題，也考查了對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．