Question

20．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)P（1，$\frac{3}{2}$），焦距為2，拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)與橢圓右焦點(diǎn)重合，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)（5，0）點(diǎn)且平行于l的直線與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，A與C在x軸上方，若AC與BD交點(diǎn)位于x軸上
（1）求橢圓與拋物線方程；
（2）求出直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義，求出a，可得b，即可得出橢圓的方程，利用拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為（1，0），得拋物線的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），根據(jù)三角形的相似比得它們縱坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)直線l與橢圓方程得到式①，再根據(jù)直線m與拋物線方程得到式②，最終得到l方程．

解答 解：（1）由題意，焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0），
∴2a=$\sqrt{4+\frac{9}{4}}$+$\frac{3}{2}$=4，
∴a=2，
∵c=1，
∴b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為（1，0），∴拋物線的方程為y²=4x；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），CD與x軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)N，
直線l的方程為x=ty-1，直線m的方程為：x=ty+5，
依題意得$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{3}}{{y}_{4}}$，令$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{3}}{{y}_{4}}$=λ（λ＜0），
由x=ty-1代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1消去x，得（3t²+4）y²-6ty-9=0，
則y₁+y₂=$\frac{6t}{3{t}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{t}^{2}+4}$，
把y₁=λy₂代入整理得：$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=-$\frac{4{t}^{2}}{3{t}^{2}+4}$①
由x=ty+5代入y²=4x消去x，得y²-4ty-20=0，
則y₃+y₄=4t，y₃y₄=-20，把y₃=λy₄代入，整理得：$\frac{（1+λ）^{2}}{λ}$=-$\frac{4}{5}$t²②
由①②消去λ，得$\frac{4{t}^{2}}{3{t}^{2}+4}$=$\frac{4}{5}$t²，解得t=0或t=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故直線l的方程為：x=-1或x±$\frac{\sqrt{3}}{3}$y+1=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的基本性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的交點(diǎn)、直線與拋物線交點(diǎn)、平行直線的性質(zhì)，對(duì)學(xué)生的綜合能力有很高的要求．