Question

5．已知點C₁（-3，1）和點C₂（4，5）．
（1）若直線l過點A（4，0），且C₁到直線l的距離等于1，求直線l的方程；
（2）設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線1₁和l₂，且C₁到直線l₁與C₂到直線l₂的距離相等，試求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），即kx-y-4k=0，利用C₁到直線l的距離等于1，建立方程，求出k，即可求直線l的方程；
（2）利用C₁到直線l₁的距離等于C₂到直線l₂的距離．推出（2-m-n）k=m-n-3或（m-n+8）k=m+n-5，關(guān)于k的方程有無窮多解，推出$\left\{\begin{array}{l}{2-m-n=0}\\{m-n-3=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m-n+8=0}\\{m+n-5=0}\end{array}\right.$，求出P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），即kx-y-4k=0，
∵C₁到直線l的距離等于1，
∴$\frac{|-3k-1-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴k=0或-$\frac{7}{24}$，
∴直線l的方程為y=0或7x+24y-28=0；
（2）設(shè)點P（m，n）則直線l₁和l₂，的方程分別為：y-n=k（x-m），y-n=-$\frac{1}{k}$（x-m）
∵C₁到直線l₁的距離等于C₂到直線l₂的距離．
∴$\frac{|-3k-1+n-km|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|-\frac{4}{k}-5+n+\frac{m}{k}|}{\sqrt{1+（\frac{1}{k}）^{2}}}$
∴（2-m-n）k=m-n-3或（m-n+8）k=m+n-5
∵關(guān)于k的方程有無窮多解，∴$\left\{\begin{array}{l}{2-m-n=0}\\{m-n-3=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m-n+8=0}\\{m+n-5=0}\end{array}\right.$
解得點P的坐標(biāo)（-$\frac{3}{2}$，$\frac{13}{2}$）或（$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題是中檔題，考查直線方程，直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想，常考題型．