Question

7．已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PD⊥底面ABCD，且PD=DA=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)，過A，B，M三點(diǎn)的平面與PD交于點(diǎn)N．
（1）求證：BM∥平面PAD；
（2）求多面體MN-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由AB∥平面PCD可得AB∥MN∥CD，于是MN=$\frac{1}{2}CD$=AB，故而四邊形ABMN是平行四邊形，于是BM∥AN，得出BM∥平面PAD；
（2）將多面體分解成三棱錐A-DMN和四棱錐M-ABCD計(jì)算體積．

解答 證明：（1）∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面PCD，
又∵AB?平面ABMN，平面ABMN∩平面PCD=MN，
∴AB∥MN．∵AB∥CD，
∴MN∥CD，∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，
∴MN=$\frac{1}{2}$CD．又∵AB=$\frac{1}{2}CD$，
∴AB=MN．
∴四邊形ABMN是平行四邊形，
∴BM∥AN，∵AN?平面PAD，BM?平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
解：（2）∵PD⊥平面ABCD，M是PC的中點(diǎn)，
∴M到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{2}PD=1$．
∴V_M-ABCD=$\frac{1}{3}$S_梯形ABCD•h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（2+1）×2×1$=1．
∵AD⊥CD，AD⊥PD，PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AD⊥平面PCD．
∴V_A-MND=$\frac{1}{3}{S}_{△MND}•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2$=$\frac{1}{3}$．
∴多面體MN-ABCD的體積V=V_M-ABCD+V_A-MND=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的性質(zhì)與判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．