Question

9．若實數(shù)a，b，c，d滿足a²-lna=b，c-2=d，則$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 可知點P（a，b）是曲線f（x）=x²-lnx（x＞0）上的點，Q（c，d）是直線y=x-2上的點，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，過曲線y=x²-lnx上的點P（a，b）的切線且與線y=x-2平行時，PQ|=$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$有最小值，運用點到直線的距離公式，計算即可得到所求．

解答 解：設(shè)點P（a，b）是曲線f（x）=x²-lnx（x＞0）上的點，
Q（c，d）是直線y=x-2上的點，
∴|PQ|=$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$，
要使|PQ|最小，當(dāng)且僅當(dāng)過曲線y=x²-lnx上的點P（a，b）的切線且與y=x-2平行時．
f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-1}{x}$（x＞0），
由$\frac{2{a}^{2}-1}{a}$=1，可得a=1（負(fù)值舍去），
∴點P（1，1）到直線y=x-2的距離為d=$\frac{|1-1-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵|PQ|≥d=$\sqrt{2}$，則$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$的最小值為$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查函數(shù)最值的求法，運用兩點的距離公式是關(guān)鍵，也是難點，考查理解題意與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點到直線間的距離，屬于難題．