Question

20．若點(diǎn)（$\sqrt{2}$，2）在冪函數(shù)f（x）的圖象上，點(diǎn)（2，$\frac{1}{2}$）在冪函數(shù)g（x）的圖象上，定義h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≤g（x）}\\{g（x），f（x）＞g（x）}\end{array}\right.$求函數(shù)h（x）的最大值及單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=xⁿ，g（x）=x^m，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程可得f（x），g（x）的解析式，再由定義，求得h（x）的解析式，通過二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得最大值和單調(diào)區(qū)間．

解答 解：設(shè)f（x）=xⁿ，g（x）=x^m，
由題意可得2=（$\sqrt{2}$）ⁿ，解得n=2，
即有f（x）=x²；
$\frac{1}{2}$=2^m，解得m=-1，即有g(shù)（x）=x^-1．
由f（x）=g（x），可得x=1，
即有h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，0＜x≤1}\\{\frac{1}{x}，x＞1或x＜0}\end{array}\right.$；
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，h（x）遞增，可得0＜h（x）≤1；
當(dāng)x＞1或x＜0時(shí)，h（x）遞減，可得h（x）∈（0，1）∪（-∞，0），
即有h（x）的最大值為1；
增區(qū)間為（0，1]；減區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查冪函數(shù)的解析式的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，同時(shí)考查分段函數(shù)的運(yùn)用，函數(shù)的單調(diào)性和最值的求法，屬于中檔題．