【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求證:函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱;
(Ⅱ)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)當(dāng)時,的遞減區(qū)間是,當(dāng)時,的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,,當(dāng)時,的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,.
【解析】
試題分析:(Ⅰ)證明:當(dāng)時,.將函數(shù)的圖象向左平移個單位 的圖象,然后證明是奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱;(Ⅱ)求導(dǎo)得,利用導(dǎo)數(shù)工具對、和分三種情況進(jìn)行討論.
試題解析:
解:(Ⅰ)證明:當(dāng)時,.
將函數(shù)的圖像向左平移個單位,得到函數(shù)的圖像.因?yàn)閷θ我?/span>,,且,所以函數(shù)是奇函數(shù).所以函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱.
所以函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.
(Ⅱ)由,得
①當(dāng)時,.
所以的遞減區(qū)間是.
②當(dāng)時,及隨的變化情況如下表:
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,.
③當(dāng)時,及隨的變化情況如下表:
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是,.
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(2)若數(shù)列是等比數(shù)列,求證:.
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【題目】已知二次函數(shù)有兩個零點(diǎn)0和-2,且最小值是-1,函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.
(1)求和的解析式;
(2)若在區(qū)間上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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