Question

18．（1）求經過點A（2，-3），B（-2，-5），C（0，1）的圓的方程；
（2）求圓心在直線x-2y-3=0上，且經過點A（2，-3），B（-2，-5）的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入A（2，-3），B（-2，-5），C（0，1），建立方程組，求出D，E，F，即可求出圓的方程；
（2）根據圓中的弦的垂直平分線過圓心求出弦AB的垂直平分線的方程，與直線l聯立可求出圓心坐標，然后根據兩點間的距離公式求出圓的半徑，即可寫出圓的標準方程．

解答 解：（1）設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
代入A（2，-3），B（-2，-5），C（0，1），可得$\left\{\begin{array}{l}{4+9+2D-3E+F=0}\\{4+25-2D-5E+F=0}\\{1+E+F=0}\end{array}\right.$，
所以D=2，E=4，F=-5，
所以圓的方程為x²+y²+2x+4y-5=0；
（2）因為A（2，-3），B（-2，-5），
所以線段AB的中點D的坐標為（0，-4），
所以線段AB的垂直平分線的方程是y=-2x-4．
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-3=0}\\{y=-2x-4}\end{array}\right.$，解得x=-1，y=-2．
所以，圓心坐標為C（-1，-2），半徑r=|CA|=$\sqrt{（2+1）^{2}+（-3+2）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
所以，此圓的標準方程是（x+1）²+（y+2）²=10．

點評 考查學生靈活運用垂徑定理解決數學問題的能力，會求線段的垂直平分線的解析式，會根據圓心坐標和半徑長度寫出圓的標準方程．