Question

6．如果$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且A，C，D三點共線，求k的值．

Answer 1

分析 根據(jù)A，C，D三點共線，得出$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{CD}$，利用向量相等列出方程組求出k的值．

解答 解：∵A，C，D三點共線，
∴存在λ∈R，使$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{CD}$，
又$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）+（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-3$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-k$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=2λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$-kλ$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2λ=3}\\{-kλ=-2}\end{array}\right.$，
解得λ=$\frac{3}{2}$，k=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了三點共線與向量共線的轉(zhuǎn)化與應用問題，是基礎題目．