Question

13．在等比數(shù)列{a_n}中，前n項和為2，緊接著后面的2n項和為12，再緊接著后面的3n和S是多少？

Answer 1

分析 由已知得等比數(shù)列an的公比q≠1，S_6n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6n}）}{1-q}$=2+12+S=14+S，令p=qⁿ，求出p，由此能求出再緊接著后面的3n和S的值．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}中，前n項和為2，緊接著后面的2n項和為12，
∴等比數(shù)列an的公比q≠1，
由已知條件可得：
S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=2，
S_3n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3n}）}{1-q}$=2+12=14，
S_6n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6n}）}{1-q}$=2+12+S=14+S，
令 p=qⁿ，則$\frac{14}{2}=\frac{{S}_{3n}}{{S}_{n}}$=$\frac{1-{p}^{3}}{1-p}$=1+p+p²，
解得：p=2或-3；
∴當p=2時，$\frac{14+S}{14}$=$\frac{{S}_{6n}}{{S}_{3n}}$=$\frac{1-{p}^{6}}{1-{p}^{3}}$=1+p³=9，
解得S=112，
 當p=-3時，$\frac{14+S}{14}$=$\frac{{S}_{6n}}{{S}_{3n}}$=$\frac{1-{p}^{6}}{1-{p}^{3}}$=1+p³=-26，
解得：S=-378．
∴再緊接著后面的3n和S是112或-378．

點評 本題考查數(shù)列的前3n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．