Question

已知對(duì)于x的所有實(shí)數(shù)值，函數(shù)f（x）=x²-4ax+2a+12（a∈R）的值都是非負(fù)的，求關(guān)于x的方程

x

a+2

=|a-1|+2的根的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)f（x）=x²-4ax+2a+12（a∈R）的值都是非負(fù)的，判別式小于等于0求得a的范圍，進(jìn)而根據(jù)a的范圍確定函數(shù)x的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域．

解答： 解：依題意可知△=16a²-4（2a+12）≤0，解得-

3

2

≤a≤2．
由

x

a+2

=|a-1|+2可得x=（a+2）（|a-1|+2），
當(dāng)1≤a≤2時(shí)，x=（a+2）（|a-1|+2）=a²+3a+2，單調(diào)增
∴x∈[6，12]
當(dāng)-

3

2

≤a＜1時(shí)，x=（a+2）（|a-1|+2）=-a²+a+6，∴x∈[

9

4

，

25

4

）
綜合得，x的取值范圍為[

9

4

，12]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的值域問(wèn)題．解題的關(guān)鍵是求得函數(shù)的解析式和在定義域上的單調(diào)性．