Question

13．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x-1}{x}-lnx$．
（1）求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)$（{\frac{1}{2}，f（{\frac{1}{2}}）}）$處的切線(xiàn)方程；
（2）求f（x）在$[{\frac{1}{4}，e}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出在x=$\frac{1}{2}$處的切線(xiàn)的斜率，從而求出切線(xiàn)方程；（2）先求出函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{4}$，e]上的單調(diào)性，從而求出在區(qū)間上的最值．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
∴f′（$\frac{1}{2}$）=2，f（$\frac{1}{2}$）=-1+ln2，
所以切線(xiàn)方程為：y+1-ln2=2（x-$\frac{1}{2}$），
即：y=2x-2+ln2．
（2）f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{4}$，1]單調(diào)遞增；在[1，e]單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（1）=0，f（$\frac{1}{4}$）=ln4-3，f（e）=-$\frac{1}{e}$，
∵ln4-3＜-$\frac{1}{e}$，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{4}$）=ln4-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，本題是一道中檔題．