Question

4．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短半軸長是1
（1）求橢圓M的方程
（2）已知C是橢圓M上異于左、右頂點A，B的一動點，作CD⊥x軸于點D，延長DC到點E，使得|DC|=|CE|，直線BE交直線x=-2于點F，AF的中點是G，試判斷直線GE與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由題意得b=1，e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$；從而求橢圓M的方程即可；
（2）由題意作出輔助圖象，設(shè)C（2cosθ，sinθ），F(xiàn)（-2，y）；從而可得E（2cosθ，2sinθ），點F（-2，4$\frac{sinθ}{1-cosθ}$），G（-2，2$\frac{sinθ}{1-cosθ}$）；從而可得$\overrightarrow{EG}$=（-2-2cosθ，2$\frac{sinθ}{1-cosθ}$-2sinθ），$\overrightarrow{OE}$=（2cosθ，2sinθ）；從而證明直線GE是以AB為直徑的圓的切線．

解答 解：（1）由題意得，b=1，e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{c}{a}$；
解得，a=2；
故橢圓M的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由題意作輔助圖象如右圖，
設(shè)C（2cosθ，sinθ），F(xiàn)（-2，y）；
∵|DC|=|CE|，∴E（2cosθ，2sinθ）；
∴點E在以AB為直徑的圓上，
∵B、E、F三點共線，
∴$\frac{2sinθ-0}{2cosθ-2}$=$\frac{y-0}{-2-2}$，
∴y=4$\frac{sinθ}{1-cosθ}$；
故點F（-2，4$\frac{sinθ}{1-cosθ}$），G（-2，2$\frac{sinθ}{1-cosθ}$）；
$\overrightarrow{EG}$=（-2-2cosθ，2$\frac{sinθ}{1-cosθ}$-2sinθ），$\overrightarrow{OE}$=（2cosθ，2sinθ）；
故$\overrightarrow{EG}$•$\overrightarrow{OE}$=（-2-2cosθ）2cosθ+（2$\frac{sinθ}{1-cosθ}$-2sinθ）2sinθ
=-4cosθ-4cos²θ+4$\frac{si{n}^{2}θcosθ}{1-cosθ}$=-4cosθ-4cos²θ+4cosθ（1+cosθ）=0；
故直線GE是以AB為直徑的圓的切線．

點評 本題考查了圓錐曲線的應(yīng)用及平面向量的應(yīng)用，同時考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，屬于中檔題．