Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（2）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的最小值是-2，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）通過平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及三角函數(shù)的和角公式計(jì)算即可；
（2）通過$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cos2x、|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2cosx，利用換元法令t=cosx∈[0，1]可得f（x）=g（t）=2（t-λ）²-1-2λ²．分0≤λ≤1時(shí)、λ＞1兩種情況討論即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$）•（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）
=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$
=cos2x，
∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$）+（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）
=（cos$\frac{3x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$），
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=cos²$\frac{3x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$+2cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+sin²$\frac{3x}{2}$+sin²$\frac{x}{2}$-2sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$
=2+2cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-2sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$
=2+2cos2x，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{2（1+cos2x）}$，
又∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosx＞0，
∴$\sqrt{2（1+cos2x）}$=$\sqrt{2（1+2co{s}^{2}x-1）}$=2cosx，
即|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2cosx；
（2）∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cos2x，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2cosx，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-2λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|
=cos2x-4λcosx
=2cos²x-4 λcosx-1
=2（cosx-λ）²-1-2λ²，
令t=cosx∈[0，1]，則f（x）=g（t）=2（t-λ）²-1-2λ²．
①當(dāng)0≤λ≤1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)t=λ時(shí)，f（x）取得最小值，
g（λ）=-1-2λ²即-1-2λ²=-2，
∴λ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②當(dāng)λ＞1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)f（x）取得最小值，g（1）=1-4λ，
即1-4λ=-2，∴λ=$\frac{3}{4}$＜1，不合題意，舍去；
綜上所述，λ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道平面向量與三角函數(shù)的綜合題，考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．