11.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形ABB1A1、ACC1A1都是正方形,AC⊥AB,$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}C}$(0<λ<1).
(Ⅰ)求證:AD⊥A1B1;
(Ⅱ)求二面角B-A1C-A的余弦值.

分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出AB⊥AA1,AC⊥AB,從而AB⊥平面AA1C1C,進(jìn)而AD⊥AB,再由AB∥A1B1,能證明AD⊥A1B1
(Ⅱ)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AA1為y軸,AC為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角B-A1C-A的余弦值.

解答 證明:(Ⅰ)∵四邊形ABB1A1、是正方形,∴AB⊥AA1,
∵AC⊥AB,AA1∩AC=A,AA1?平面AA1C1C,AC?平面AA1C1C,
∴AB⊥平面AA1C1C,
∵AD?平面AA1C1C,∴AD⊥AB,
∵AB∥A1B1,∴AD⊥A1B1
解:(Ⅱ)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AA1為y軸,AC為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)AB=2,則B(2,0,0),B1(2,2,0),A1(0,2,0),C(0,0,2),
$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=(-2,2,0),$\overrightarrow{CB}$=(2,0,-2),
設(shè)$\overrightarrow{n}$=(x,y,z)為平面BA1C的法向量,
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=2x-2z=0}\end{array}\right.$,令y=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,1,1)為平面BA1C的一個(gè)法向量,
∵$\overrightarrow{m}$=(1,0,0)為平面ACA1的法向量,
∴cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴二面角B-A1C-A的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

點(diǎn)評 本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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