Question

3．若曲線y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$與直線y=x+b始終有交點，則b的取值范圍是[-1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)曲線方程的特點得到此曲線的圖象為一個半圓如圖所示，然后分別求出相切、過（-1，0）及過（1，0）的直線方程，利用圖象即可得到滿足條件的b的范圍．

解答 解：曲線y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$代表半圓，圖象如圖所示．
當直線與半圓相切時，圓心（0，0）到直線y=x+b的距離d=$\frac{\left|b\right|}{\sqrt{2}}$=r=1，
解得b=$\sqrt{2}$，b=-$\sqrt{2}$（舍去），
當直線過（-1，0）時，把（-1，0）代入直線方程y=x+b中解得b=1；
當直線過（1，0）時，把（1，0）代入直線方程y=x+b中解得b=-1．
根據(jù)圖象可知直線與圓有交點時，b的取值范圍是：[-1，$\sqrt{2}$]；
當有一個交點時，b的取值范圍為：[-1，1）∪{$\sqrt{2}$}；
當有兩個交點時，b的取值范圍是：[1，$\sqrt{2}$）．
故答案為：[-1，$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查學生掌握直線與圓的位置關(guān)系的判別方法，靈活運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想解決實際問題．是一道綜合題．