Question

14．某校魯班學(xué)習(xí)小組利用課余時(shí)間模擬制作奧運(yùn)圣火采集器，已知他們制作采集器的拋物面的軸切線(xiàn)為經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P（1，2）的拋物線(xiàn)，則該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1在一三象限內(nèi)的漸近線(xiàn)的距離為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$或$\frac{1}{16}$
• C． $\frac{1}{16}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{1}{16}$

Answer 1

分析 求出拋物線(xiàn)的方程，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，可得結(jié)論．

解答 解：由題設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2p₁x或x²=2p₂y，則2²=2p₁，∴p₁=2，
從而焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
同理p₂=$\frac{1}{4}$，從而焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{1}{8}$），
又雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1在一三象限內(nèi)的漸近線(xiàn)的方程為y-$\sqrt{3}$x=0，
∴該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1在一三象限內(nèi)的漸近線(xiàn)的距離為$\frac{|（-\sqrt{3}）×1+0×1|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
或$\frac{|（-\sqrt{3}）×0+\frac{1}{8}×1|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{1}{16}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．