【題目】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足,且是的等差中項.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)若,對任意正數(shù)數(shù), 恒成立,試求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(Ⅰ)通過是的等差中項可知,結(jié)合,可知 ,進而通過解方程,可知公比,從而可得數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)通過(Ⅰ) ,利用錯位相減法求得,對任意正整數(shù)恒成立等價于對任意正整數(shù)恒成立,問題轉(zhuǎn)化為求的最小值,從而可得的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的首項為,公比為依題意,有,
代入,得,因此,
即有解得或
又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增,則故.
(Ⅱ) ①
②
①-②,得
對任意正整數(shù)恒成立.
對任意正整數(shù)恒成立,即恒成立,
,即的取值范圍是.
【易錯點晴】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式以及求和公式、“錯位相減法”求數(shù)列的和,以及不等式恒成立問題,屬于難題. “錯位相減法”求數(shù)列的和是重點也是難點,利用“錯位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點:①掌握運用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件(一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積);②相減時注意最后一項 的符號;③求和時注意項數(shù)別出錯;④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時除以.
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【題目】已知圓,圓
(1)若圓、相交,求的取值范圍;
(2)若圓與直線相交于、兩點,且,求的值;
(3)已知點,圓上一點,圓上一點,求的最小值的取值范圍.
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【題目】已知二次函數(shù))滿足,且.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2) 令,求函數(shù)在∈[0,2]上的最小值.
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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品,質(zhì)量測試分為:指標(biāo)不小于90為一等品,不小于80小于90為二等品,小于80為三等品,每件一等品盈利50元,每件二等品盈利30元,每件三等品虧損10元.現(xiàn)對學(xué)徒工甲和正式工人乙生產(chǎn)的產(chǎn)品各100件的檢測結(jié)果統(tǒng)計如下:
根據(jù)上表統(tǒng)計得到甲、乙生產(chǎn)產(chǎn)品等級的頻率分別估計為他們生產(chǎn)產(chǎn)品等級的概率.
(Ⅰ)求出甲生產(chǎn)三等品的概率;
(Ⅱ)求出乙生產(chǎn)一件產(chǎn)品,盈利不小于30元的概率;
(Ⅲ)若甲、乙一天生產(chǎn)產(chǎn)品分別為30件和40件,估計甲、乙兩人一天共為企業(yè)創(chuàng)收多少元?
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【題目】已知函數(shù)相鄰兩對稱軸間的距離為,若將的圖象先向左平移個單位,再向下平移1個單位,所得的函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求的解析式,并求的對稱中心;
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實根,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,其離心率,點P為橢圓上的一個動點,面積的最大值為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若A,B,C,D是橢圓上不重合的四個點,AC與BD相交于點,,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)(是非零實常數(shù))滿足,且關(guān)于的方程的解集中恰有一個元素.
(1)求的值;
(2)在直角坐標(biāo)系中,求定點到函數(shù)圖像上任意一點的距離的最小值;
(3)當(dāng)時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PA⊥AC,PA⊥AB,PA=AB,,,點D,E分別在棱PB,PC上,且DE∥BC,
(1)求證:BC⊥平面PAC;
(2)當(dāng)D為PB的中點時,求AD與平面PAC所成的角的正弦值.
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