Question

6．已知a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對邊，G是△ABC的三條邊上中線的交點，若$\overrightarrow{GA}+（a+b）\overrightarrow{GB}+2c\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow 0$，且$\frac{1}{a}+\frac{4}$≥m+c恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． $（-∞，\frac{17}{2}]$
• B． $（-∞，\frac{13}{2}]$
• C． $[\frac{13}{2}，+∞）$
• D． $[\frac{17}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 由G是△ABC的重心，則$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，代入求得（1-2c）$\overrightarrow{GA}$+（a+b-2c）$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{0}$，即可求得a+b=1，且c=$\frac{1}{2}$，利用基本不等式的性質(zhì)，$\frac{1}{a}+\frac{4}$=1+$\frac{a}$+$\frac{4a}$+4≥9，代入即可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意知，G是△ABC的重心，
則$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，即$\overrightarrow{GC}$=-（$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$），
代入$\overrightarrow{GA}+（a+b）\overrightarrow{GB}+2c\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow 0$，得：
（1-2c）$\overrightarrow{GA}$+（a+b-2c）$\overrightarrow{GB}$=$\overrightarrow{0}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{1-2c=0}\\{a+b-2c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{c=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
由$\frac{1}{a}+\frac{4}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）（a+b）=1+$\frac{a}$+$\frac{4a}$+4≥2$\sqrt{\frac{a}×\frac{4a}}$+5=9，
當且僅當$\frac{a}$=$\frac{4a}$，則a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$時，取等號，
$\frac{1}{a}+\frac{4}$≥m+c，則m≤$\frac{1}{a}+\frac{4}$-c=9-$\frac{1}{2}$=$\frac{17}{2}$，
∴m≤$\frac{17}{2}$，
∴實數(shù)m的取值范圍（-∞，$\frac{17}{2}$]，
故選A．

點評 本題考查向量的運算，考查三角形的重心的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．