Question

16．已知函數(shù)f（x）=mx-$\frac{m-1}{x}$-lnx，m∈R．函數(shù)g（x）=$\frac{1}{xcosθ}$+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，且0∈[0，$\frac{π}{2}$）
（I）當m=3時，求f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求θ的取值；
（Ⅲ）若h（x）=f（x）-g（x）在其定義域上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（1），f（1），求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出g（x）的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為$\frac{1}{cosθ}≤x$在x∈[1，+∞）上恒成立，求出θ的值即可；
（Ⅲ）求出h（x）的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為mx²-2x+m≥0或mx²-2x+m≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，分離參數(shù)，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當m=3時，$f（x）=3x-\frac{2}{x}-lnx$，$f'（x）=3+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x}$…（1分）
所求切線斜率k=f'（1）=4，f（1）=1，
∴y-1=4（x-1），
即切線方程為4x-y-3=0…（3分）
（Ⅱ）∵g（x）在q上為增函數(shù)，
∴$g'（x）=-\frac{1}{cosθ}\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}≥0$在x∈[1，+∞）上恒成立，
即$\frac{1}{cosθ}≤x$在x∈[1，+∞）上恒成立，…（5分）
∴$\frac{1}{cosθ}≤1$∵$θ∈[{0，\frac{π}{2}}）$，
∴cosθ≥1，又∵cosθ≤1，∴cosθ=1，
∴θ=0…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知∵$h（x）=f（x）-g（x）=mx-\frac{m-1}{x}-lnx-（\frac{1}{x}+lnx）=mx-\frac{m}{x}-2lnx$，
∴$h'（x）=\frac{{m{x^2}-2x+m}}{x^2}$…（8分）
∵h（x）在（0，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，
∴mx²-2x+m≥0或mx²-2x+m≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，…（9分）
即x∈（0，+∞）時$m≥\frac{2x}{{{x^2}+1}}或m≤\frac{2x}{{{x^2}+1}}$恒成立，…（10分）
設(shè)$F（x）=\frac{2x}{{{x^2}+1}}=\frac{2}{{x+\frac{1}{x}}}（x＞0）$，
∵$x+\frac{1}{x}≥2$（當且僅當x=1時“等號”成立）∴0＜F（x）≤1…（11分）
∴m≥1或m≤0，
即m取值范圍為（-∞，0]∪[1，+∞）…（12分）

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性問題以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．