Question

6．如圖，菱形ABCD的棱長為2，∠BAD=60°，CP⊥底面ABCD，E為邊AD的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PBE⊥平面BCP；
（2）當(dāng)直線AP與底面ABCD所成的角為30°時，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量利用向量法即可求二面角A-PC-B的余弦值．

解答 解：（1）連接BD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD 為棱長為2的菱形，∠BAD=60°，
所以△ABD 為等邊三角形，又E 為邊AD 的中點(diǎn)，所以BE⊥AD，
而AD∥BC，故 BE⊥BC；            …2分
因?yàn)?CP⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
所以BE⊥PC，BC∩CP=C，故 BE⊥平面BCP，…4分
又BC?平面PBE，所以平面PBE⊥平面BCP．…5分
（2）連接AC，因?yàn)镃P⊥平面ABCD，所以∠PAC 就是直線AP 與底面ABCD
所成的角，故∠PAC=30°，在 Rt△ACP中，
tan∠PAC=tan30°=$\frac{CP}{AC}=\frac{CP}{2\sqrt{3}}$，可得CP=2，
建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz 如圖，
此時∠BCy=30°，…6分
可得 C（0，0，0），P（0，0，2），B（1，$\sqrt{3}$，0），
A（3，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{CB}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{BA}$=（2，0，0），
$\overrightarrow{BP}$=（-1，-$\sqrt{3}$，2），…8分
，設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z） 為平面PBC 的一個法向量，
則有$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CB}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CP}$=0，
即  $\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}y=0}\\{2z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$=（-3，$\sqrt{3}$，0），
同理可得平面PAB的一個法向量$\overrightarrow{m}$=（0，2$\sqrt{3}$，3），…10分
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}×2\sqrt{3}}{\sqrt{12}•\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∵二面角A-PB-C是鈍二面角，
所以二面角A-PB-C的余弦值為-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．…12分

點(diǎn)評 本題主要考查空間面面垂直的判斷以及空間二面角的求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決二面角常用的方法．