Question

1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過點A（2，1），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓相交于B，C兩點（異于點A），線段BC被y軸平分，且AB⊥AC，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式及b²=a²-c²，及點A（2，1），聯(lián)立即可求得a，b及c的值，即可求得橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，求得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理求得x_B+x_C=-$\frac{8mk}{1+4{k}^{2}}$，根據(jù)線段BC被y軸平分，即x_B+x_C=0，即可求得m的值，根據(jù)向量的坐標表示求得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，即可求得k的值，將點A代入直線方程，當k=$\frac{1}{2}$，不滿足，故求得k的值．

解答 解：（1）由條件知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$離線率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴b²=a²-c²=$\frac{1}{4}$a²，將點A（2，1），代入橢圓方程得$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=8}\\{^{2}=2}\end{array}\right.$，
故橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）將直線l：y=kx+m（k≠0）代入橢圓方程，x²+4（kx+m）²-8=0，
整理得：（1+4k²）x²+8mkx+4m²-8=0，
線段BC被y平分得：x_B+x_C=-$\frac{8mk}{1+4{k}^{2}}$=0，
k≠0，m=0，
∴B，C關(guān)于原點對稱，設(shè)B（x，kx），C（-x，-kx），
∴x²=$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$，
又∵AB⊥AC，A（2，1），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（x-2）（-x-2）+（kx-1）（-kx-1）=5-（1+k²）x²=5-$\frac{8（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$=0，
解得k=±$\frac{1}{2}$，
由k=$\frac{1}{2}$，直線y=$\frac{1}{2}$x過點A（2，1）故k=$\frac{1}{2}$不符合題意，
所以，此時直線l的直線方程y=-$\frac{1}{2}$x．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的離心率公式和橢圓的性質(zhì)，向量的坐標表示，考查分析問題及解決問題得能力，屬于中檔題