Question

8．已知點(diǎn)R（x₀，y₀）在D：y²=2px上，以R為切點(diǎn)的D的切線的斜率為$\frac{P}{{y}_{0}}$，過(guò)Γ外一點(diǎn)A（不在x軸上）作Γ的切線AB、AC，點(diǎn)B、C為切點(diǎn)，作平行于BC的切線MN（切點(diǎn)為D），點(diǎn)M、N分別是與AB、AC的交點(diǎn)（如圖）．
（1）用B、C的縱坐標(biāo)s、t表示直線BC的斜率；
（2）設(shè)三角形△ABC面積為S，若將由過(guò)Γ外一點(diǎn)的兩條切線及第三條切線（平行于兩切線切點(diǎn)的連線）圍成的三角形叫做“切線三角形”，如△AMN，再由M、N作“切線三角形”，并依這樣的方法不斷作切線三角形…，試?yán)�用“切線三角形”的面積和計(jì)算由拋物線及BC所圍成的陰影部分的面積T．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知設(shè)出直線方程，由切線斜率的定義即可表示出直線BC的斜率；
（2）求得切線的斜率，可得D的坐標(biāo)，求得直線BC的方程，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得A關(guān)于D的對(duì)稱點(diǎn)在直線BC上，求得D為AE的中點(diǎn)，根據(jù)MN為三角形ABC的中位線，且E為BC的中點(diǎn)，D為MN的中點(diǎn)，求得三角形ABC的面積，再由三角形的面積之比與對(duì)應(yīng)邊的比的關(guān)系，可得由拋物線外作出的“切線三角形”的面積構(gòu)成以$\frac{1}{4}$S為首項(xiàng)，$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列，運(yùn)用無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，可得所有面積和，即可得到所求面積T．

解答 解：（1）設(shè)切線方程為y-y₀=$\frac{p}{{y}_{0}}$（x-x₀），
k_BC=$\frac{{y}_{B}-{y}_{C}}{{x}_{B}-{x}_{C}}$=$\frac{2p}{s+t}$，
（2）設(shè)D（μ，v），則MN∥BC，
∴$\frac{p}{v}$=$\frac{2p}{s+t}$，（s，t為B，C的縱坐標(biāo)），
v=$\frac{s+t}{2}$D（$\frac{（s+t）^{2}}{8p}$，$\frac{s+t}{2}$），
設(shè)A（a，b）利用切線方程得：
$\left\{\begin{array}{l}{b-t=\frac{p}{t}（a-\frac{{t}^{2}}{2p}）}\\{b-s=\frac{p}{s}（a-\frac{{s}^{2}}{2p}）}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{bt=ap+\frac{{t}^{2}}{2}}\\{bt=ap-\frac{{s}^{2}}{2}}\end{array}\right.$，兩式相減得：
b=$\frac{t+s}{2}$，a=$\frac{st}{2p}$，A（$\frac{st}{2p}$，$\frac{t+s}{2}$），
由前面計(jì)算可知：AD平行于橫軸，可得y_E=$\frac{t+s}{2}$，
BC：y-t=$\frac{2p}{s+t}$（x-$\frac{{t}^{2}}{2p}$），將y_E=$\frac{t+s}{2}$，代入x_E=$\frac{{s}^{2}+{t}^{2}}{4p}$，
由x_A+x_E=$\frac{st}{2p}$+$\frac{{s}^{2}+{t}^{2}}{4p}$=$\frac{（s+t）^{2}}{4p}$=2x_D，
所以D為AE的中點(diǎn)；
設(shè)：S_△AMN=R，由上可知R=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{S}{4}$，
由M，N確定的確定的切線三角形的面積為$\frac{1}{4}$×$\frac{R}{2}$=$\frac{R}{8}$，
后一個(gè)切線三角形的面積是前一切線三角形面積的$\frac{1}{8}$，
由此繼續(xù)下去可得算式：
S_△ABC=S=T+R+2$\frac{R}{8}$+4$\frac{R}{64}$+8$\frac{R}{512}$+…+，
=T+R+$\frac{R}{4}$+$\frac{R}{16}$+$\frac{R}{64}$+…，
∴T=S-$\frac{R}{1-\frac{1}{4}}$=S-$\frac{4}{3}$R=$\frac{2}{3}$S．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，主要是相切的條件，考查直線的斜率和方程的運(yùn)用，同時(shí)考查三角形的面積的求法，注意運(yùn)用三角形面積之比與對(duì)應(yīng)邊的比的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，具有一定的難度，屬于中檔題．