Question

1．已知直線l經(jīng)過點M₀（1，5），傾斜角是$\frac{π}{3}$．
（1）求直線l的參數(shù)方程；
（2）求直線l與直線x-y-2$\sqrt{3}$=0的交點與點M₀的距離；
（3）求直線l與圓x²+y²=16的兩個交點到點M₀的距離的和與積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線的參方程 的定義公式求解．
（2）運用直線參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入直線x-y-2$\sqrt{3}$=0，借助幾何意義求解即可．
（3）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入直線x²+y²=16，
化簡得出：t²+（5$\sqrt{3}+1$）t+10=0，利用方程的根的關(guān)系求解即可．

解答 解：∵傾斜角是$\frac{π}{3}$，直線l經(jīng)過點M₀（1，5），
∴斜率k=$\sqrt{3}$，
（1）直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{3}}\\{y=5+tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$t為參變量
（2）把直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入直線x-y-2$\sqrt{3}$=0，
得t=-（10+6$\sqrt{3}$），
∴直線l和直線x-y-2$\sqrt{3}$=0的交點到點M₀的距離為：|t|=10$+6\sqrt{3}$．
（3）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入直線x²+y²=16，
化簡得出：t²+（5$\sqrt{3}+1$）t+10=0，
t₁+t₂=-1-5$\sqrt{3}$，t₁t₂=10，
t₁，t₂符號為同號且為負值，
|t₁|+|t₂|=-（t₁+t₂）=1$+5\sqrt{3}$

點評 本題考查了直線的參數(shù)方程，運用求解有關(guān)直線，圓的交點，距離問題，屬于中檔題．