Question

13．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ，求a_n．

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式推得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{2}=\frac{1}{2}$為首項，公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，然后由等差數(shù)列的通項公式得答案．

解答 解：由a_n+1=2a_n+2ⁿ，得
$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+\frac{1}{2}$，即$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}$，
又a₁=1，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{2}=\frac{1}{2}$為首項，公差為$\frac{1}{2}$的等差數(shù)列，
則$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）=\frac{n}{2}$，
∴${a}_{n}=n•{2}^{n-1}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，是中檔題．