Question

10．實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程x²+y²-2x=0，則$\frac{y}{x+1}$的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 整理方程可知，方程表示以點(diǎn)（1，0）為圓心，以1為半徑的圓，設(shè)$\frac{y}{x+1}$=k，進(jìn)而根據(jù)圓心（1，0）到y(tǒng)=kx+k的距離為半徑時(shí)直線(xiàn)與圓相切，斜率取得最大、最小值，問(wèn)題得以解決．

解答 解：方程x²+y²-2x=0即為（x-1）²+y²=1表示以點(diǎn)（1，0）為圓心，以1為半徑的圓．
設(shè)$\frac{y}{x+1}$=k，即y=kx+k，
由圓心（1，0）到y(tǒng)=kx+k的距離為半徑時(shí)直線(xiàn)與圓相切，斜率取得最大、最小值，
∴$\frac{|k+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{y}{x+1}$的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 此題考查代數(shù)式的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，以及斜率的計(jì)算公式的合理運(yùn)用．