Question

10．實數x，y滿足方程x²+y²-2x=0，則$\frac{y}{x+1}$的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 整理方程可知，方程表示以點（1，0）為圓心，以1為半徑的圓，設$\frac{y}{x+1}$=k，進而根據圓心（1，0）到y(tǒng)=kx+k的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值，問題得以解決．

解答 解：方程x²+y²-2x=0即為（x-1）²+y²=1表示以點（1，0）為圓心，以1為半徑的圓．
設$\frac{y}{x+1}$=k，即y=kx+k，
由圓心（1，0）到y(tǒng)=kx+k的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值，
∴$\frac{|k+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{y}{x+1}$的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$

點評 此題考查代數式的最大值的求法，是中檔題，解題時要注意直線與圓的位置關系，以及斜率的計算公式的合理運用．