Question

【題目】已知橢圓：的中心為，一個(gè)方向向量為的直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)

（1）若且點(diǎn)在第二象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若經(jīng)過的直線與垂直，求證：點(diǎn)到直線的距離；

（3）若點(diǎn)、在橢圓上，記直線的斜率為，且為直線的一個(gè)法向量，且求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）9

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，可得的方程，運(yùn)用直線和橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得，化簡(jiǎn)整理，解方程可得的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線，運(yùn)用（1）求得到直線的距離公式，再由基本不等式可得最大值，即可得證；

（3）直線的方程為，代入橢圓方程，可得交點(diǎn)，求得，同樣將直線代入橢圓方程求得的坐標(biāo)，可得，化簡(jiǎn)整理即可得到所求值．

解：（1）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，

可得，

直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得，

即有，

化簡(jiǎn)可得，

由可得，

由點(diǎn)在第二象限，可得，

即為；

（2）證明：設(shè)直線，

由（1）可得，，

則點(diǎn)到直線的距離

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)；

（3）由題意可得直線的方程為，

代入橢圓方程，可得，

即有，，

即有，

將直線的方程，代入橢圓方程可得，

，，

即有，

則．