Question

11．已知點A（-1，0），B（1，0），在直線l：x-y+2=0上取點P，且以A，B為焦點作橢圓，則橢圓長軸長的最小值為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 設點A關于直線l：x-y+2=0的對稱點為C，求出C的坐標，由兩點間的距離公式求得|BC|得答案．

解答 解：如圖，設點A關于直線l：x-y+2=0的對稱點為C，連接BC交直線l于P₀，
根據(jù)平面幾何知識可得：當動點P與點P₀重合時，|PA|+|PB|取得最小值．
設C（m，n），則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m+1}=-1}\\{\frac{m-1}{2}-\frac{n}{2}+2=0}\end{array}\right.$，
解得：m=-2，n=1．
∴C的坐標為（-2，1），得|PA|+|PB|取得最小值為|CB|=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（1-0）^{2}}=\sqrt{10}$．
∴橢圓長軸長的最小值為：$\sqrt{10}$．
故答案為：$\sqrt{10}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，著重考查了點關于直線對稱點、直線上的點到兩定點距離最小值的求法等知識，屬于中檔題．