Question

3．（1）在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM＜AC的概率．
（2）在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段交于點(diǎn)M，求AM＜AC的概率．
（3）在等腰直角三角形ABC內(nèi)任取點(diǎn)P，連接CP的射線交斜邊AB與M，求AM＜AC的概率．

Answer 1

分析 （1）欲求AM＜AC的概率，先求出M點(diǎn)可能在的位置的長(zhǎng)度，AC的長(zhǎng)度，再讓兩者相除即可．
（2）由于過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一射線CM，故可以認(rèn)為所有可能結(jié)果的區(qū)域?yàn)椤螦CB，可將事件A構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椤螦CC'，以角度為“測(cè)度”來(lái)計(jì)算．
（3）與（2）相同．

解答 解：（1）在等腰直角三角形ABC中，設(shè)AC長(zhǎng)為1，則AB長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，
在AC′上取點(diǎn)D，使AC′=1，則若M點(diǎn)在線段AB上，滿足條件．
∵AC′=1，AB=$\sqrt{2}$
∴AM＜AC的概率為$\frac{AC′}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（2）在AB上取AC'=AC，則$∠ACC'=\frac{{{{180}°}-45°}}{2}={67.5°}$．
記A={在∠ACB內(nèi)部任作一射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，AM＜AC}，
則所有可能結(jié)果的區(qū)域?yàn)椤螦CB，
事件A構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椤螦CC'．
又∠ACB=90°，∠ACC'=67.5°．
∴$P（A）=\frac{{{{67.5}°}}}{{{{90}°}}}=\frac{3}{4}$．
（3）在AB上取AC'=AC，則$∠ACC'=\frac{{{{180}°}-45°}}{2}={67.5°}$．
記A={在∠ACB內(nèi)部任作一射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，AM＜AC}，
則所有可能結(jié)果的區(qū)域?yàn)椤螦CB，
事件A構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椤螦CC'．
又∠ACB=90°，∠ACC'=67.5°．
∴$P（A）=\frac{{{{67.5}°}}}{{{{90}°}}}=\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何概型．在利用幾何概型的概率公式來(lái)求其概率時(shí)，幾何“測(cè)度”可以是長(zhǎng)度、面積、體積、角度等，其中對(duì)于幾何度量為長(zhǎng)度，面積、體積時(shí)的等可能性主要體現(xiàn)在點(diǎn)落在區(qū)域Ω上任置都是等可能的．