Question

8．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=lnx-$\frac{a}{x}$有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，得到g（-a）＜0，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是{x|x＞0}，
f′（x）=lnx+1，（x＞0），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
則函數(shù)f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增；
（2）g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
a≥0時(shí)，g′（x）＞0恒成立，
函數(shù)g（x）是遞增函數(shù)，不可能有2個(gè)零點(diǎn)，舍去；
a＜0時(shí)，令g′（x）＜0，則0＜x＜-a，
令f′（x）＞0，則x＞-a，
則函數(shù)g（x）在（0，-a）遞減，在（-a，+∞）遞增，
則函數(shù)g（x）有2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于在（0，+∞）的最小值是g（-a）＜0，
解得：-$\frac{1}{e}$＜a＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．