Question

19．已知函數(shù)f（x）=e^x-aex（a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（2）當x∈R時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f'（x）=e^x-ea，由此利用導數(shù)性質能討論函數(shù)f（x）的單調性．
（2）由a＜0，a=0，a＞0，利用導數(shù)性質分類討論，能求出a的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-eax，得f'（x）=e^x-ea．
當a≤0時，f'（x）=e^x-ea＞0，則f（x）在R上為增函數(shù)；
當a＞0時，由f'（x）=e^x-ea=e^x-e^1+lna=0，解得x=1+lna．
當x＜1+lna時，f'（x）＜0；當x＞1+lna時，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，1+lna）上為減函數(shù)，
在（1+lna，+∞）上為增函數(shù)．
（2）結合（1），得：
當a＜0時，設a＜-1，則f（2a）=e^2x-ea•2a=e^2x-2ea²＜0，
這與“當x∈R時，f（x）≥0恒成立”矛盾，此時不適合題意．
當a=0時，f（x）=e^x，滿足“當x∈R時，f（x）≥0恒成立”．
當a＞0時，f（x）的極小值點，也是最小值點，
即$f{（x）_{min}}=f（1+lna）={e^{1+lna}}-ea（1+lna）=-ealna$，
由f（x）≥0，得-ealna≥0，解得0＜a≤1．
綜上，a的取值范圍是[0，1]．

點評 本題考查函數(shù)的單調性的討論，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．