Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），滿足f（0）=2，f（x+1）-f（x）=2x-1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．
（Ⅲ）若函數(shù)g（x）=f（x）-mx的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間（-1，2）和（2，4）內(nèi)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（0）=2，f（x+1）-f（x）=2x-1，直接求出a、b、c，然后求出函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，直接求解函數(shù)的最值．
（Ⅲ）利用g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間（-1，2）和（2，4）內(nèi)，列出不等式組，即可求出M的范圍．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2，
又f（x+1）-f（x）=2x-1
得2ax+a+b=2x-1，故解得：a=1，b=-2，
所以f（x）=x²-2x+2．----------（a，b，c各（1分），解析式1分）-------------（4分）
（Ⅱ）f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，對(duì)稱軸為x=1∈[-1，2]，
故f_min（x）=f（1）=1，又f（-1）=5，f（2）=2，
所以f_max（x）=f（-1）=5．-------------（8分）
（Ⅲ）g（x）=x²-（2+m）x+2，若g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間（-1，2）和（2，4）內(nèi)，
則滿足$\left\{{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（2）＜0}\\{g（4）＞0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{5+m＞0}\\{2-2m＜0}\\{10-4m＞0}\end{array}}\right.$-------------（12分）

解得：$1＜m＜\frac{5}{2}$．-------------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)與最值的求法，零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．