Question

6．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，且橢圓的短軸長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P（2，3），Q（2，-3）在橢圓上，A、B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)．
①若直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，求四邊形APBQ面積的最大值；
②當(dāng)A、B運(yùn)動(dòng)且滿足∠APQ=∠BPQ時(shí)，試問直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的短軸長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$，離心率等于$\frac{1}{2}$，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，由此列式解出a，b的值，即可得到橢圓C的方程；
（2）①設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=$\frac{1}{2}$x+t，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得四邊形APBQ的面積，從而解決問題；
②設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，PA的直線方程為y-3=k（x-2）將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得x₁+2，同理PB的直線方程為y-3=-k（x-2），可得x₂+2，從而得出AB的斜率為定值$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）設(shè)C方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得2b=4$\sqrt{3}$，即b=2$\sqrt{3}$，
由$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=4，c=2，
則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）①解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為y=$\frac{1}{2}$x+t，
代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，得x²+tx+t²-12=0，
由△＞0，解得-4＜t＜4，
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=-t，x₁x₂=t²-12．
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-4（{t}^{2}-12）}$=$\sqrt{48-3{t}^{2}}$．
由此可得：四邊形APBQ的面積S=$\frac{1}{2}$•6|x₁-x₂|=3$\sqrt{48-3{t}^{2}}$，
當(dāng)t=0，S_max=12$\sqrt{3}$；
②解：當(dāng)∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，
設(shè)直線PA的斜率為k，
則PB的斜率為-k，直線PA的直線方程為y-3=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-3=k（x-2）①}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=48②}\end{array}\right.$，
①代入②整理得，（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0，
∴x₁+2=$\frac{8k（2k-3）}{3+4{k}^{2}}$，
同理直線PB的直線方程為y-3=-k（x-2），
可得x₂+2=$\frac{-8k（-2k-3）}{3+4{k}^{2}}$
∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，x₁-x₂=-$\frac{48k}{3+4{k}^{2}}$，
k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}-2）+3+k（{x}_{2}-2）-3}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
所以AB的斜率為定值$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，其中根據(jù)已知條件計(jì)算出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的關(guān)鍵．