Question

13．求函數(shù)y=-sin²x-cosx+2，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的值域．

Answer 1

分析 先可將原函數(shù)變成y=（cosx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，而由x的范圍，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可求出cosx的范圍，通過上面函數(shù)解析式即可求出原函數(shù)的最大值，最小值，從而求出其值域．

解答 解：y=-sin²x-cosx+2=cos²x-cosx+1=（cosx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$；x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
∴cosx∈[0，1]；
∴cosx=$\frac{1}{2}$時，原函數(shù)取最小值$\frac{3}{4}$；
cosx=1時，原函數(shù)取最大值1；
∴原函數(shù)的值域為：[$\frac{3}{4}$，1]．
故答案為：[$\frac{3}{4}$，1]．

點評 本題考查配方法求函數(shù)的最值，從而求出函數(shù)的值域，以及對余弦函數(shù)圖象的掌握，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象求余弦函數(shù)的范圍．