Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+2，x≥2}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜2}\end{array}\right.$，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x₁≠x₂都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． a＜0
• B． a≤0
• C． a≤-$\frac{11}{8}$
• D． a＜-$\frac{11}{8}$

Answer 1

分析 由題意可得f（x）在R上為遞減函數(shù)，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，注意分界點(diǎn)x=2，可得2a+2≤（$\frac{1}{2}$）²-1，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：任意的實(shí)數(shù)x₁≠x₂都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，可得
f（x）在R上為遞減函數(shù)，
顯然當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1遞減；
當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=ax+2，由遞減函數(shù)，可得a＜0，①
由單調(diào)性的定義可得2a+2≤（$\frac{1}{2}$）²-1，
解得a≤-$\frac{11}{8}$，②
由①②可得a≤-$\frac{11}{8}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查單調(diào)性的運(yùn)用，注意運(yùn)用單調(diào)性的定義，考查指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題和易錯(cuò)題．