Question

5．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=nta_n+nt-n（∈N^*），且a₁≠a₂
（1）求t的值；
（2）證明：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）在數(shù)列遞推式中取n=1，求得t=1或a₁=-1，取n=2得到a₁+a₂=2ta₂+2t-2，驗證t=1與原題意矛盾，得到a₁=-1，從而求得t=$\frac{1}{2}$；
（2）把t=$\frac{1}{2}$代入原遞推式，再取n=n-1得另一遞推式，作差后證得答案．

解答 （1）解：由S_n=nta_n+nt-n，
當n=1時，a₁=ta₁+t-1，
即（1-t）（1+a₁）=0，
解得p=1或a₁=-1．
當n=2時，a₁+a₂=2ta₂+2t-2，
若t=1，則a₁+a₂=2a₂+2-2=2a₂，得a₁=a₂，與已知矛盾，故t≠1，
∴a₁=-1，又a₁≠a₂，
∴a₂≠-1．
由a₁+a₂=2ta₂+2t-2，得t=$\frac{1}{2}$；
（2）證明：把t=$\frac{1}{2}$代入S_n=nta_n+nt-n，
得2S_n=n（a_n-1）．
當n≥2時，2S_n-1=（n-1）（a_n-1-1）．
兩式相減得（n-2）a_n-（n-1）a_n-1-1=0，
于是（n-1）a_n+1-na_n-1=0，
兩式相減得a_n+1-a_n-1=2a_n（n≥2）．
故數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了證明數(shù)列為等差數(shù)列的方法，是中檔題．