Question

20．己知直線l：3x+4y-12=0與x軸，y軸分別相交A，B．
（1）求與直線l、x軸、y軸都相切的圓的方程；
（2）線段OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)嚴(yán)P，OB的延長線上有動(dòng)點(diǎn)Q，A，B和OQ的交點(diǎn)為M，如果P、Q保持|PA|=|BQ|，且分別趨近于A，B，問點(diǎn)M趨向何處？

Answer 1

分析 （1）確定圓心與半徑，即可求與直線l、x軸、y軸都相切的圓的方程；
（2）求出直線PQ的方程與直線l：3x+4y-12=0聯(lián)立可得M的軌跡．

解答 解：（1）由題意A（4，0），B（0，3），設(shè)圓的半徑為r，則
由等面積可得$\frac{1}{2}×（3+4+5）r=\frac{1}{2}×3×4$，∴r=1
∴圓的方程（x-1）²+（y-1）²=1；
（2）設(shè)PA=a（0＜a＜4），則P（4-a，0），Q（0，3+a），
∴直線PQ的方程為$\frac{x}{4-a}$+$\frac{y}{3+a}$=1
與直線l：3x+4y-12=0聯(lián)立可得x=$\frac{16-4a}{7}$，y=$\frac{9+3a}{7}$，
消去a可得3x+4y-12=0，即M在線段AB上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查軌跡方程的求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．