Question

9．（1）設(shè)全集U={不大于20的質(zhì)數(shù)}，且A∩（∁_UB）={3，5}，（∁_UA）∩B={7，11}，（∁_UA）∩（∁_UB）={2，17}，請(qǐng)繪制韋恩圖求出集合A，B；
（2）利用（1）題中的韋恩圖解決下面問(wèn)題：
向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A，B兩觀點(diǎn)的態(tài)度，結(jié)果如下：贊成觀點(diǎn)A的人數(shù)是全體的$\frac{3}{5}$，其余的不贊成；贊成觀點(diǎn)B的比贊成觀點(diǎn)A的多3人，其余的不贊成；另外，對(duì)觀點(diǎn)A，B都不贊成的學(xué)生比對(duì)觀點(diǎn)A，B都贊成的學(xué)生的$\frac{1}{3}$多1人．問(wèn)：對(duì)觀點(diǎn)A，B都贊成的學(xué)生有多少人？

Answer 1

分析 （1）畫出韋恩圖，即可直接求出集合A和B．
（2）設(shè)對(duì)A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x，則對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為$\frac{x}{3}$+1，贊成A而不贊成B的人數(shù)為30-x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33-x．依題意（30-x）+（33-x）+x+$\frac{x}{3}$+1=50，解得即可．

解答 解：（1）：∵全集U={x|x取不大于20的質(zhì)數(shù)}={2，3，5，7，11，13，17，19}，

A∩（∁_UB）={3，5}，（∁_UA）∩B={7，11}，（∁_UA）∩（∁_UB）={2，17}，
∴由韋恩圖可知A={3，5，11，13}，B={7，11，13，19}．
（2）贊成A的人數(shù)為50×$\frac{3}{5}$=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，
如圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成A的學(xué)生全體為集合A，贊成B的學(xué)生全體為集合B．
設(shè)對(duì)A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x，則對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為$\frac{x}{3}$+1，贊成A而不贊成B的人數(shù)為30-x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33-x．
依題意（30-x）+（33-x）+x+$\frac{x}{3}$+1=50，解得x=21．
故對(duì)觀點(diǎn)A，B都贊成的學(xué)生有21人．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用集合的運(yùn)算表示韋恩圖中的集合、考查利用交集、補(bǔ)集的定義求集合的交集、補(bǔ)集，屬于中檔題．