Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=2，S_n=na_n-n（n-1）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{（n+1）{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知求出S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2），兩式相減得a_n=a_n-1+2，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n可求；
（2）由a_n=2n，代入b_n=$\frac{1}{（n+1）{a}_{n}}$，得到b_n=$\frac{1}{2n（n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，進(jìn)一步可求出T_n．

解答 解：（1）n≥2時(shí)，S_n=na_n-n（n-1），
∴S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）．
兩式相減得a_n=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），則（n-1）a_n=（n-1）a_n-1+2（n-1），
∴a_n=a_n-1+2．
∴{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列．
∴a_n=2n；
（2）由（1）知a_n=2n，
∴b_n=$\frac{1}{（n+1）{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴T_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{n}{2n+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了數(shù)列遞推式，屬于中檔題．