Question

2．已知f（x）是定義在[0，+∞]上，且以3π為周期的函數(shù)，若當(dāng)x∈[0，3π]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，x∈[0，π]}\\{2sin（x-π），x∈（π，2π]}\\{4sin（x-2π），x∈（2π，3π]}\end{array}\right.$
（1）試寫(xiě)出函數(shù)y=f（x）在（3（k-1）π，3kπ]（k∈N^*）上的解析式；
（2）求當(dāng)x∈[0，2015]時(shí)，方程|lgx|=f（x）的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的周期性即可寫(xiě)出函數(shù)y=f（x）在（3（k-1）π，3kπ]（k∈N^*）上的解析式；
（2）根據(jù)方程和函數(shù)之間的關(guān)系，作出函數(shù)y=|lgx|和y=f（x）的圖象，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求當(dāng)x∈[0，2015]時(shí)，方程|lgx|=f（x）的解的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）當(dāng)x∈[0，3π]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，}&{x∈[0，π]}\\{-2sinx，}&{x∈（π，2π]}\\{4sinx，}&{x∈（2π，3π]}\end{array}\right.$，
∵函數(shù)的周期是3π，
∴當(dāng)x∈（3（k-1）π，3kπ]時(shí)，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，}&{x∈（（3k-3）π，（3k-2）π]}\\{-2sinx，}&{x∈（（3k-2）π，（3k-1）π]}\\{4sinx，}&{x∈（（3k-1）π，3kπ]}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)x∈[0，2015]時(shí)，作出函數(shù)f（x）與y=|lgx|的圖象如圖：
當(dāng)x＞1時(shí)，由lgx=1得x=10，由lgx=2得x=100，由lgx=4得x=10000，
即當(dāng)0≤x≤3π時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有6個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)3π＜x≤33π時(shí)，兩個(gè)函數(shù)每個(gè)周期內(nèi)有4交點(diǎn)，有10個(gè)周期，
共10×4=40個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)33π＜x≤642π時(shí)，兩個(gè)函數(shù)每個(gè)周期內(nèi)有2交點(diǎn)，有203個(gè)周期，
共有203×2=406個(gè)交點(diǎn)，
綜上當(dāng)x∈[0，2015]時(shí)，方程|lgx|=f（x）的解的個(gè)數(shù)為6+40+406=452個(gè)根．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)周期性的應(yīng)用以及函數(shù)解析式的求解，根據(jù)方程和函數(shù)之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合即可求解方程根的個(gè)數(shù)，注意要點(diǎn)函數(shù)的區(qū)間進(jìn)行討論．