Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間$[{0，\;\frac{π}{6}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）在區(qū)間$[{0，\;\frac{π}{6}}]$上的最大值和最小值．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x=1+sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由$0≤x≤\frac{π}{6}$得：$\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{7π}{12}$，
當(dāng)$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$即x=0時(shí)，f（x）_min=3；
當(dāng)$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{8}$時(shí)，$f{（x）_{max}}=\sqrt{2}+2$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換、正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．