Question

4．已知函數(shù)f（x）=lnx-mx（m∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)m≥$\frac{3\sqrt{2}}{2}$時，設(shè)g（x）=2f（x）+x²的兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂）恰為h（x）=lnx-cx²-bx的零點，求y=（x₁-x₂）h′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）的最小值．

Answer 1

分析 （I）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論m的取值，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間；
（II）對函數(shù)g（x）求導(dǎo)數(shù)，利用極值的定義得出g'（x）=0時存在兩正根x₁，x₂；
再利用判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合零點的定義，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)y的最小值．

解答 解：（I）∵函數(shù)f（x）=lnx-mx，∴$f'（x）=\frac{1}{x}-m=\frac{1-mx}{x}$，x＞0；
當(dāng)m＞0時，由1-mx＞0解得x＜$\frac{1}{m}$，即當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{m}$時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
由1-mx＜0解得x＞$\frac{1}{m}$，即當(dāng)x＞$\frac{1}{m}$時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)m=0時，f'（x）=$\frac{1}{x}$＞0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)m＜0時，1-mx＞0，故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴當(dāng)m＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，$\frac{1}{m}$），單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{1}{m}$，+∞）；
當(dāng)m≤0時，f（x） 的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；   …（5分）
（II）g（x）=2f（x）+x²=2lnx-2mx+x²，則$g'（x）=\frac{{2（{x^2}-mx+1）}}{x}$，
∴g'（x）的兩根x₁，x₂即為方程x²-mx+1=0的兩根；
又∵m≥$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴△=m²-4＞0，x₁+x₂=m，x₁x₂=1；  …（7分）
又∵x₁，x₂為h（x）=lnx-cx²-bx的零點，
∴l(xiāng)nx₁-cx₁²-bx₁=0，lnx₂-cx₂²-bx₂=0，
兩式相減得 $ln\frac{x_1}{x_2}$-c（x₁-x₂）（x₁+x₂）-b（x₁-x₂）=0，
得b=$\frac{{ln\frac{x_1}{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}-c（{x_1}+{x_2}）$，
而$h'（x）=\frac{1}{x}-2cx-b$，
∴y=$（{x_1}-{x_2}）[\frac{2}{{{x_1}+{x_2}}}-c（{x_1}+{x_2}）-b]$
=$（{x_1}-{x_2}）[\frac{2}{{{x_1}+{x_2}}}-c（{x_1}+{x_2}）-$$\frac{{ln\frac{x_1}{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}+c（{x_1}+{x_2}）$]
=$\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}}}-ln\frac{x_1}{x_2}$=$2•\frac{{\frac{x_1}{x_2}-1}}{{\frac{x_1}{x_2}+1}}-ln\frac{x_1}{x_2}$，…（10分）
令$\frac{x_1}{x_2}=t$（0＜t＜1），
由（x₁+x₂）²=m²得x₁²+x₂²+2x₁x₂=m²，
因為x₁x₂=1，兩邊同時除以x₁x₂，得t+$\frac{1}{t}$+2=m²，
∵m≥$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，故t+$\frac{1}{t}$≥$\frac{5}{2}$，解得t≤$\frac{1}{2}$或t≥2，∴0＜t≤$\frac{1}{2}$；…（12分）
設(shè)G（t）=$2•\frac{t-1}{t+1}-lnt$，
∴G'（t）=$\frac{{-{{（t-1）}^2}}}{t（t+1）}＜0$，則y=G（t）在（0，$\frac{1}{2}$]上是減函數(shù)，
∴G（t）_min=G（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{2}{3}$+ln2，
即$y=（{x_1}-{x_2}）h'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$的最小值為-$\frac{2}{3}$+ln2．   …（14分）

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題，也考查了構(gòu)造函數(shù)法和分類討論思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．