Question

9．過拋物線y²=10x的焦點(diǎn)的一條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，則|AB|=11．

Answer 1

分析 解法一：由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，利用定義即可求出|AB|的長．
解法二：過拋物線焦點(diǎn)的直線L斜率存在且不等于0，由點(diǎn)斜式設(shè)出L的直線方程，與拋物線方程組成方程組，消去未知數(shù)y，得關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系和線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得k的值，再由線段長度公式求出|AB|的大�。�

解答 解法一：拋物線y²=10x的焦點(diǎn)為F（$\frac{5}{2}$，0），
設(shè)過F點(diǎn)的直線L為：y=k（x-$\frac{5}{2}$），且k≠0；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{5}{2}）}\\{{y}^{2}=10x}\end{array}\right.$  得：
k²（x-$\frac{5}{2}$）²=10x，
即k²x²-（5k²+10）x+$\frac{25}{4}$k²=0；
由根與系數(shù)的關(guān)系，得：
x₁+x₂=$\frac{{5k}^{2}+10}{{k}^{2}}$=2×3=6，
由焦半徑公式得|AB|=|AF|+|BF|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=（x₁+x₂）+p=6+5=11．
解法二：拋物線y²=10x的焦點(diǎn)為F（$\frac{5}{2}$，0），
設(shè)過F點(diǎn)的直線L為：y=k（x-$\frac{5}{2}$），且k≠0；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{5}{2}）}\\{{y}^{2}=10x}\end{array}\right.$  得：
k²（x-$\frac{5}{2}$）²=10x，
即k²x²-（5k²+10）x+$\frac{25}{4}$k²=0；
由根與系數(shù)的關(guān)系，得：
x₁+x₂=$\frac{{5k}^{2}+10}{{k}^{2}}$=2×3=6，
x₁x₂=$\frac{25}{4}$；
解得k²=10，
所以線段AB的長為：
|AB|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+10}$×$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$=$\sqrt{11}$×$\sqrt{{6}^{2}-4×\frac{25}{4}}$=11．
故答案為：11．

點(diǎn)評 本題是直線被圓錐曲線所截，求弦長問題，利用弦長由公式即可求得，線段中點(diǎn)坐標(biāo)通常和根與系數(shù)的關(guān)系相聯(lián)系，從而簡化解題過程．