16.已知函數(shù)f(x)=$\frac{a-lnx}{x}$在點(1,f(1))處的切線與x軸平行.
(1)求實數(shù)a的值及f(x)的極值;
(2)若對任意x1,x2∈[e2,+∞),有|$\frac{{f({x_1})-f({x_2})}}{{x_1^{\;}-x_2^{\;}}}$|>$\frac{k}{{x_1^{\;}•x_2^{\;}}}$,求實數(shù)k的取值范圍.

分析 (1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a的值,再利用f′(x)=0,求出函數(shù)f(x)的極值;
(2)由|$\frac{{f({x_1})-f({x_2})}}{{x_1^{\;}-x_2^{\;}}}$|>$\frac{k}{{x_1^{\;}•x_2^{\;}}}$變形得$|\frac{{f({x_1})-f({x_2})}}{{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}}|>k$,構(gòu)造函數(shù)$g(\frac{1}{x})=f(x)$,利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)在定區(qū)間上的取值范圍即可.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=$\frac{a-lnx}{x}$,
∴f′(x)=$\frac{x•(-\frac{1}{x})-(a-lnx)}{{x}^{2}}$=$\frac{-1-a+lnx}{{x}^{2}}$,
令f'(1)=0,
∴-1-a+ln1=0,
解得a=-1;
令f′(x)=0,則lnx=0,
解得x=1,
即f(x)有極小值為f(1)=-1;(6分)
(2)由|$\frac{{f({x_1})-f({x_2})}}{{x_1^{\;}-x_2^{\;}}}$|>$\frac{k}{{x_1^{\;}•x_2^{\;}}}$,可得$|\frac{{f({x_1})-f({x_2})}}{{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}}|>k$,
令$g(\frac{1}{x})=f(x)$,則g(x)=x-xlnx,其中x∈(0,e-2],
g'(x)=-lnx,又x∈(0,e-2],則g'(x)=-lnx≥2,
即$|\frac{{f({x_1})-f({x_2})}}{{\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}}}|>2$,
因此實數(shù)k的取值范圍是(-∞,2].(12分)

點評 本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來描述原函數(shù)的單調(diào)性、極值等情況;也考查了邏輯推理與運算求解能力,是難題.

練習(xí)冊系列答案
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