Question

知?jiǎng)狱c(diǎn)P（a，b）在區(qū)域

2x-y-4≤0 x-y≥0 y≥0

上運(yùn)動(dòng)．
（Ⅰ）若w=

a+b-3

a-1

，求w的范圍
（Ⅱ）求覆蓋此區(qū)域的面積最小的圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用分式的性質(zhì)將分式w=

a+b-3

a-1

進(jìn)行化簡，利用斜率的幾何意義，即可求w的范圍
（Ⅱ）利用待定系數(shù)法即可求出圓的方程．

解答： 解：（Ⅰ）w=

a+b-3

a-1

=

a-1+b-2

a-1

=1+

b-2

a-1

，
設(shè)k=

b-2

a-1

，則k的幾何意義為點(diǎn)P到定點(diǎn)N（1，2）的斜率，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則ON的斜率k=2，
由

2x-y-4=0 x-y=0

，解得

x=4 y=4

，即A（4，4），
則NA的斜率k=

4-2

4-1

=

2

3

．
由k的取值范圍是k≥2或≤

2

3

．
則1+k≥3或1+k≤

5

3

．
即w≥3或w≤

5

3

．
（Ⅱ）若覆蓋此區(qū)域的面積最小的圓，
則此時(shí)過點(diǎn)O，B（2，0），A（4，4）三點(diǎn)的圓即可．
設(shè)圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則

F=0 4+2D=0 16+16+4D+4E=0

，解得

D=-2 E=-6 F=0

，
圓的一般方程為x²+y²-2x-6y=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及圓的方程的求解．利用數(shù)形結(jié)合以及直線斜率的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．