Question

8．已知拋物線C：y²=4x上一點P，若以P為圓心，|PO|為半徑作圓與拋物線的準(zhǔn)線l交于不同的兩點M，N，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點為A，則$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的取值范圍是（0，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 設(shè)P（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），則圓P的方程為（x-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$）²+（y-y₀）²=$\frac{{{y}_{0}}^{4}}{16}$+y₀²，設(shè)M（-1，y₁），N（-1，y₂），$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$=$\frac{|{y}_{1}|+|{y}_{2}|}{|{y}_{1}{y}_{2}|}$=$\frac{4}{|{y}_{0}|+\frac{2}{|{y}_{0}|}}$，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求出$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的取值范圍．

解答 解：設(shè)P（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$，y₀），則圓P的方程為（x-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$）²+（y-y₀）²=$\frac{{{y}_{0}}^{4}}{16}$+y₀²，
令x=-1，得y²-2y₀y+1+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$=0，
設(shè)M（-1，y₁），N（-1，y₂），則y₁y₂=1+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$，y₁+y₂=2y₀，
△=2y₀²-4＞0，y₀²＞2，
∴$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$=$\frac{|{y}_{1}|+|{y}_{2}|}{|{y}_{1}{y}_{2}|}$=$\frac{4}{|{y}_{0}|+\frac{2}{|{y}_{0}|}}$，
令t=|y₀|（t＞$\sqrt{2}$），則y=$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$在（$\sqrt{2}$，+∞）上單調(diào)遞減，
∴y=$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$∈（0，$\sqrt{2}$），
∴$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$的取值范圍是（0，$\sqrt{2}$）．
故答案為：（0，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查拋物線方程，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計算能力，確定$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|AN|}$=$\frac{|{y}_{1}|+|{y}_{2}|}{|{y}_{1}{y}_{2}|}$=$\frac{4}{|{y}_{0}|+\frac{2}{|{y}_{0}|}}$是關(guān)鍵．