Question

已知圓C方程為（x-3）²+y²=12，定點(diǎn)A（-3，0），P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和直線CP相交于點(diǎn)Q．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡E的方程．
（Ⅱ）過點(diǎn)C傾斜角為30°的直線交曲線E于A、B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題意可得點(diǎn)Q滿足雙曲線的定義，且求得a，c的值，再由b²=c²-a²求得b，則點(diǎn)Q的軌跡E的方程可求；
（Ⅱ）由題意得到直線AB的方程，和雙曲線方程聯(lián)立后利用弦長公式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由點(diǎn)Q是線段AP垂直平分線上的點(diǎn)，
∴|AQ|=|PQ|，
又∵|QA|-|QC|=|PC|=2

3

＜|AC|=6，
滿足雙曲線的定義．
設(shè)E的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
則a=

3

，c=3，
b=

c2-a2

=

6

，
則軌跡E方程為

x2

3

-

y2

6

=1；
（Ⅱ）直線AB的傾斜角為30°，且直線過C（3，0），
∴y=

3

3

(x-3)直線AB的方程為y=

3

3

(x-3)，
由

y= 3 3 (x-3) x2 3 - y2 6 =1

，消去y得5x²+6x-27=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴有x1+x2=-

6

5

，x1x2=-

27

5

．
則|AB|=

1+( 3 3 )2

•

(- 6 5 )2-4×(- 27 5 )

=

16

5

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常用根與系數(shù)的關(guān)系解決，是壓軸題．