9.已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,且a1+a7=9,a4=2$\sqrt{2}$,則S8=( 。
A.15(1+$\sqrt{2}$)B.15(1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$)C.15($\sqrt{2}$-1)或15(1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$)D.15(1+$\sqrt{2}$)或15(1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$)

分析 由已知a1,a7分別是方程x2-9x+8=0的兩根,由此解方程求出a1,a7,再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)與公比,由此能求出結(jié)果.

解答 解:∵等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,且a1+a7=9,a4=2$\sqrt{2}$,
∴由${a_4}=2\sqrt{2}$,得${a_1}{a_7}={a_4}^2=8$.
∴a1,a7分別是方程x2-9x+8=0的兩根.
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\{a_7}=8\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=8\\{a_7}=1.\end{array}\right.$,
∵等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),∴公比q>0.
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\{a_7}=8\end{array}\right.$時(shí),$q=\sqrt{[}6]{{\frac{a_7}{a_1}}}=\sqrt{2}$,
∴${S_8}=\frac{{1×[{1-{{({\sqrt{2}})}^8}}]}}{{1-\sqrt{2}}}=15({1+\sqrt{2}})$;
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=8\\{a_7}=1.\end{array}\right.$時(shí),$q=\sqrt{[}6]{{\frac{a_7}{a_1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,
∴${S_8}=\frac{{8×[{1-{{({\frac{{\sqrt{2}}}{2}})}^8}}]}}{{1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=15({1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}})$.
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的前8項(xiàng)和的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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A.(0,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)B.(0,$\frac{\sqrt{3}}{3}$)C.(0,$\frac{\sqrt{5}}{5}$)D.(0,$\frac{\sqrt{6}}{6}$)

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