Question

4．已知點(diǎn)M（1，1），圓（x+1）²+（y-2）²=4，直線l過(guò)點(diǎn)M（1，1），且與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程
（2）當(dāng)|MA|²+|MB|²取得最小值時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為x=1，直線與圓相切；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-1=k（x-1），由圓心到直線距離為半徑求出k，由此能求出過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y-1=k（x-1），k＜0，則A（1-$\frac{1}{k}$，0），B（0，1-k），由此利用均值定理能求出直線l的方程．

解答 解：（1）圓（x+1）²+（y-2）²=4的圓心C（-1，2），半徑為r=2，
直線l過(guò)點(diǎn)M（1，1），當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為x=1．
由圓心C（-1，2）到直線x=1的距離d=3-1=2=r知，此時(shí)，直線與圓相切．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-1=k（x-1），
即kx-y+1-k=0．
由題意知$\frac{|k-2+1-3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=$\frac{3}{4}$．
故方程為y-1=$\frac{3}{4}$（x-1），即3x-4y+1=0．
故過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程為x=1或3x-4y+1=0．
（2）設(shè)直線l的斜率為k，則k＜0，
直線l的方程為y-1=k（x-1），
則A（1-$\frac{1}{k}$，0），B（0，1-k），
所以|MA|²+|MB|²=（1-1+$\frac{1}{k}$）²+1²+1²+（1-1+k）²
=2+k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$≥2+2$\sqrt{{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=-1時(shí)，|MA|²+|MB|²取得最小值4，
此時(shí)直線l的方程為x+y-2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線方程的求法，考查滿足條件的直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意切線方程性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．