Question

已知拋物線與x軸交于A（-1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)M坐標(biāo)；
（3）求四邊形ABMC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）已知了三點(diǎn)的坐標(biāo)，可用交點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)拋物線的解析式然后將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式即可求出對(duì)稱軸方程及M的坐標(biāo)（可用配方法進(jìn)行求解）．
（3）由于四邊形ABMC不是規(guī)則的四邊形，因此可過(guò)M作x軸的垂線，將四邊形ABMC分成梯形和兩個(gè)直角三角形三部分來(lái)求．

解答： 解：（1）由題意，可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入后可得：
3=a（0+1）（0-3），
即a=-1
因此拋物線的解析式為：y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；
（2）由（1）的拋物線的解析式可知：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
因此拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=1；頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M（1，4）．
（3）過(guò)M作MN⊥x軸于N，
則有S_{四邊形ABMC}=S_△AOC+S_△BMN+S_梯形MNOC
=

1

2

•OA•OC+

1

2

•BN•MN+

1

2

（OC+MN）•ON
=

1

2

×1×3+

1

2

×2×4+

1

2

×（3+4）×1=9，
因此四邊形ABMC的面積為9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及圖形面積的求法．當(dāng)圖形的形狀不規(guī)則時(shí)，可將圖形分割成幾個(gè)規(guī)則圖形，然后利用這些圖形的面積的“和，差”關(guān)系來(lái)求解．